Τα ζάρια και ο Γαλιλαίος

Ο Γαλιλαίος (1554 - 1642) είναι γνωστός για το έργο του στην φυσική και φυσικά για την φράση του ότι « το βιβλίο της φυσικής είναι γραμμένο με μαθηματικά ». Είναι σχεδόν άγνωστο ότι το 1620 έγραψε ένα μικρό μνημόνιο που αφορούσε το παιχνίδι των ζαριών σε απάντηση ενός αιτήματος του προστάτη του Δούκα της Τοσκάνης.
Ο Γαλιλαίος ήταν τότε Πρώτος Μαθηματικός του Πανεπιστημίου
της Πίζας και Πρώτος Φιλόσοφος του Μεγάλου Δούκα και είναι αυτός που μαζί με τον Καρντάν έγραψε για πρώτη φορά σχετικά με τον λογισμό των πιθανοτήτων. Τα γραπτά τους δημοσιεύθηκαν μετά την περίφημη αλληλογραφία μεταξύ του Πασκάλ και Φερμά, η οποία σηματοδοτεί επίσημ α την έναρξη της θεωρίας πιθανοτήτων.

Είναι γνωστό ότι ο Μεγάλος Δούκας τον XVII αιώνα, είχε αδυναμία στα τυχερά παιχνίδια. Ένα από τα αγαπημένα του παιχνίδια ήταν να αθροίζει τους αριθμούς που έφερναν τρία ζάρια.

Ένα ζάρι είναι ένας κύβος με 6 πλευρές. Σε κάθε πλευρά αναγράφεται ένας εκ των αριθμών 1,2,3,4,5,6. Σαν μεγάλος παίκτης που ήταν παρατήρησε ότι το αθροισμα 10 εμφανιζόταν ελαφρώς συχνότερα από ότι το άθροισμα 9. Είπε λοιπόν στο Γαλιλαίο την παρατήρησή του, εκφράζοντας την απορία αφού και στις δύο περιπτώσεις είναι έξι οι δυνατότητες των αριθμών 1,2,3,4,5,6 που φέρνουν άθροισμα 10 ή 9, δηλαδή:

10= 6 + 3 + 1 = 6 + 2 + 2 = 5 + 4 + 1 = 5 + 3 + 2 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3 (6 δυνατότητες)

9= 6 + 2 + 1 = 5 + 3 + 1 = 5 + 2 + 2 = 4 + 4 + 1 = 4 + 3 + 2 = 3 + 3 + 3 (6 δυνατότητες)

              9=6+2+1                                              10=6+3+1

                  =5+3+1                                                 =6+2+2

                  =5+2+2                                                 =5+4+1

                  =4+4+1                                                 =5+3+2

                  =4+3+2                                                 =4+4+2

                  =3+3+3                                          =4+3+3

Ο Γαλιλαίος θεώρησε κατάλληλο δειγματικό χώρο για το συγκεκριμένο πρόβλημα το τριπλό καρτεσιανό γινόμενο του Ω={1,2,3,4,5,6} με τον εαυτό του, που δίνει:

           9=6+2+1    6 τρόποι                           10=6+3+1   6 τρόποι

                 =5+3+1     6 τρόποι                               =6+2+2   3 τρόποι

                 =5+2+2     3 τρόποι                               =5+4+1   6 τρόποι

                 =4+4+1     3 τρόποι                               =5+3+2   6 τρόποι

                 =4+3+2     6 τρόποι                               =4+4+2   3 τρόποι

                  =3+3+3     1 τρόπος                               =4+3+3  3 τρόποι


 

Έτσι,δικαιολογείται κατα κάποιον τρόπο το γιατί η πιθανότητα να φέρουν τα ζάρια άθροισμα = 10 είναι μεγαλύτερη (ελαφρώς) από την πιθανότητα να φέρουν άθροισμα = 9. Η απαρίθμηση των περιπτώσεων είναι αναγκαία για τον εξορθολογισμό του ερωτήματος.

Παλαιότερες προσπάθειες 

Το 1307 ‐ 1321 γράφτηκε από τον Dante Aligeri " Η Θεία Κωμωδία ", όπου αναφέρει και το ρίξιμο ζαριών .
Το 1477 ο Benvenuto d' Imola σχολιάζοντας το σημείο αυτό υπολογίζει ότι , όταν ρίξουμε τρία ζάρια υπάρχει μία περίπτωση να πάρουμε άθροισμα τρία ( τρείς άσσοι ) και μία να πάρουμε άθροισμα τέσσερα ( ένα διπλό και δυο άσσοι ) . Έκανε λάθος  στον υπολογισμό του 4 διότι υπάρχουν τρείς περιπτώσεις : (1, 1, 2), ( 1, 2, 1), (2, 1, 1), δεν ξεχώρισε τις διαφορετικές διατάξεις

Ο Cardano, που ήταν γιατρός και μαθηματικός σε βιβλίο του , που ο ίδιος λέει το έγραψε το 1526 σε ηλικία 25 ετών, ανακαλύφθηκε μετά το θάνατό του το 1576 και τυπώθηκε το 1663,  ασχολείται με διάφορα προβλήματα των τυχερών παιχνιδιών. Υπολογίζει σωστά όλες τις περιπτώσεις στο ρίξιμο δύο ζαριών και ότι, όταν ρίχνουμε τρία ζάρια, υπάρχουν 216 περιπτώσεις . Εκεί υπολογίζει  σωστά ότι σε τρεις περιπτώσεις παίρνουμε άθροισμα 4, σε 27 περιπτώσεις παίρνουμε άθροισμα 10 και σε 25 περιπτώσεις παίρνουμε άθροισμα 9.


Βιβλιογραφία

-  ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗ
Συγγραφέας: Μωυσιάδης Πολυχρόνης
Εκδόσεις: ΖΗΤΗ


- ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι, ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ
Συγγραφέας: Μωυσιάδης Πολυχρόνης,Κουνιας Στρατής
Εκδόσεις: ΖΗΤΗ

Μωυσιάδης Πολυχρόνης

Ο Μωυσιάδης Πολυχρόνης είναι Καθηγητής του Τμήματος Μαθηματικών στον τομέα Στατιστικής και Επιχειρησιακής Έρευνας. Σχολή Θετικών Επιστημών, Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη 541 24. ΄Γεννήθηκε στους  Σιταγρούς Δράμας το 1949. Βασικές Σπουδές: Α΄ βάθμια εκπ/ση: Δράμα Β΄ βάθμια εκπ/ση: Θεσσαλονίκη, Στ΄ Γυμνάσιο Αρρένων Γ΄βάθμια εκπ/ση: Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ (1967 έως 1972) Μεταπτ. Σπουδές: Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ (1975 έως 1981) και Ινστιτούτο Μαθηματικών Βουδαπέστης (1977). Διδακτορικό: ΑΠΘ 1981 με επιβλέποντα τον καθ. κ. Στρ. Κουνιά με θέμα: "D-βέλτιστοι 2k πειραματικοί σχεδιασμοί πρώτης τάξης με Ν παρατηρήσεις όταν ΝΊ0mod4". Ακαδ. εξέλιξη: Βοηθός καθηγητού (Φεβρουάριος 1975). Μόνιμος Επιμελητής (Μάρτιος 1982). Λέκτορας (Ιούλιος 1982). Επίκ. Καθηγητής (Οκτώβριος 1985). Αναπλ. Καθηγητής (Ιανουάριος 1995). Καθηγητής (Οκτώβριος 2000). Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Βελτιστοποίηση πειραματικών σχεδιασμών, Ανθεκτική Στατιστική, Συνδιαστική και Θεωρία Γραφημάτων


Τarif
23/11/2015